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ACERCAMIENTO AL CONCEPTO DE PROPORCIONALIDAD POR MEDIO DE REPRESENTACIONES EN UN AMBIENTE DIN�MICO

M�nica del Roc�o Torres Ibarra, Nancy Janeth Calvillo Guevara, Elvira Borj�n Robles

mtorres@matematicas.reduaz.mx, ncalvill@uaz.edu.mx, borjonrojo@hotmail.com

Universidad Aut�noma de Zacatecas

Resumen

En este trabajo se describe una propuesta din�mica que tiene por objetivo fomentar el razonamiento proporcional en estudiantes del nivel secundaria, el cual juega un papel primordial en el desarrollo de ideas matem�ticas. Se centra la atenci�n en la aprehensi�n del concepto de proporcionalidad, con la intenci�n de que la regla de tres no sea considerada como el �nico recurso para su ense�anza, sino que se le brinden al estudiante estrategias para que pueda determinar en primera instancia si se encuentra frente a una situaci�n proporcional o no proporcional, de forma que posteriormente pueda con ello determinar si debe aplicar o no la regla de tres. Para ello, se toman como base los esquemas de acercamiento al concepto propuestos por Moch�n (2012), los cuales son abordados a trav�s una herramienta din�mica y auto evaluable desarrollada en GeoGebra en la que se ponen en juego diferentes representaciones semi�ticas (Duval, 2004) del concepto de proporcionalidad con la intenci�n de que conduzcan a los alumnos del nivel secundaria a adquirir la noesis del concepto de proporcionalidad, considerando el paso por la g�nesis del concepto (Oller y Gairin, 2013) y estableciendo los criterios para determinar el logro alcanzado.

Palabras Clave: Proporcionalidad, Situaciones Representaciones, Errores

Abstract

This paper describes a dynamic proposal that aims to promote proportional reasoning in high school students, which plays a key role in the development of mathematical ideas. Attention is focused on the apprehension of the concept of proportionality, with the intention that the rule of three is not considered as the only resource for its teaching, but that the student is provided with strategies so that he can determine in the first instance if he is found in a proportional or non-proportional situation, so that later you can determine whether or not to apply the rule of three. For this, the approach schemes to the concept proposed by Moch�n (2012) are taken as a basis, which are approached through a dynamic and self-assessing tool developed in GeoGebra in which different semiotic representations are put into play (Duval, 2004). of the concept of proportionality with the intention that they lead secondary school students to acquire the noesis of the concept of proportionality, considering the passage through the genesis of the concept (Oller and Gairin, 2013) and establishing the criteria to determine the achievement achieved.

Keywords: Proportionality, Situations, Representations, Errors

 

Introducci�n

De acuerdo con Fern�ndez y Llinares, (2012), el uso indiscriminado de la regla de tres puede llevar a no distinguir situaciones de proporcionalidad de aquellas que no lo son, por lo que se hace necesario la implementaci�n de situaciones que permitan fortalecer estrategias de aprehensi�n a trav�s de un acercamiento gradual al concepto. Este acercamiento debe permitir a los alumnos identificar elementos clave que se presentan en determinadas situaciones de valor faltante antes de considerar la regla de tres como �nico recurso de soluci�n.

Aunado a ello, el concepto de proporcionalidad se integra tanto en el m�dulo de An�lisis de Datos como en el de N�mero, �lgebra y variaci�n, dentro de los tres grados que integral el nivel secundaria; en los cuales se persiguen los prop�sitos de:� �Perfeccionar las t�cnicas para calcular valores faltantes en problemas de proporcionalidad y c�lculo de porcentajes� y �que el alumno modele situaciones de variaci�n lineal, cuadr�tica y de proporcionalidad inversa, y defina� patrones mediante expresiones algebraicas� (SEP, 2017, p. 162), sin embargo, las estrategias did�cticas utilizadas para abordarlos se limitan al manejo algor�tmico de la regla de tres, lo que desencadena que los alumnos cuando ven un problema de valor faltante se limiten a aplicar la regla, sin dar lugar al an�lisis de las situaciones.

Considerando lo anterior, se realiza una propuesta integradora, en la que se consideran los acercamientos al concepto de proporcionalidad, espec�ficamente el primero, que se refiere al uso de razones simples para comparar cantidades que, manipuladas a trav�s de diferentes representaciones semi�ticas y presentadas a trav�s de una App interactiva desarrollada en Geogebra, tienen la intenci�n de acercar a los alumnos a la noesis del concepto de una manera paulatina, tratando de evidenciar las caracter�sticas que cada una de las representaciones provee ya que como menciona Duval (1998), una representaci�n muestra parcialmente el objeto al que se refiere, mientras que la coordinaci�n entre sus diferentes representaciones permitir� la aprehensi�n conceptual.

Referente Te�rico

En la estructura de los aprendizajes, se encuentra impl�cito el manejo en diferentes representaciones, que �en el �mbito de las matem�ticas, son notaciones simb�licas o gr�ficas, as� como manifestaciones verbales mediante los que se expresan los procedimientos, as� como sus caracter�sticas y propiedades� (Gruszycki, et al., 2014, p. 2170), que a su vez pueden integrarse como una representaci�n semi�tica �conjunto de signos que son el medio de expresi�n de las representaciones mentales para hacerlas visibles a otros individuos� (Duval, 2004), buscando por una parte, la aprehensi�n del concepto por parte de los alumnos y por otra proporcionar al docente una herramienta m�s completa de an�lisis del conocimiento adquirido.

Dentro de las representaciones semi�ticas, Duval (2004) distingue dos conceptos fundamentales: semiosis y noesis, definiendo la primera como �la aprehensi�n o la producci�n de una representaci�n semi�tica�, y la segunda como �los actos cognitivos como la aprehensi�n conceptual de un objeto� (Duval, 2004, pp. 14), reduciendo estas definiciones con el enunciado �no hay noesis sin semiosis�, es decir, no se puede aprender un concepto matem�tico sin pasar por el necesario tratamiento y conversi�n de diferentes registros de representaci�n semi�tica.

Debemos distinguir entonces algunos t�rminos fundamentales: las representaciones mentales, son aquellas que pueden distinguirse como las concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto matem�tico, las representaciones semi�ticas, consideradas como aquellas producciones en las que se emplean signos para exteriorizar las representaciones mentales y dar lugar a la actividad cognitiva del pensamiento.

Duval (1998), distingue tres actividades cognitivas fundamentales ligadas a la semiosis:

• La formaci�n, que implica una selecci�n de rasgos y de datos en el contenido por representar.
• El tratamiento, en la que se debe realizar una transformaci�n de un registro en el mismo registro donde ha sido formada, pero reestructurada de acuerdo a las reglas del mismo.
• La conversi�n, que conlleva una transformaci�n de una representaci�n de otro registro conservando la totalidad o parte del contenido de la representaci�n inicial e identificando las caracter�sticas de cada uno.

Por otro lado, deben considerarse tambi�n dos nociones fundamentales dentro de la proporcionalidad, las cuales son la raz�n y la proporci�n. Oller y Gairin (2013), hacen una intensa b�squeda de la g�nesis de estos conceptos, encontrando que:

�         en el libro V de los Elementos de Euclides, se describe vagamente que �una raz�n es determinada relaci�n con respecto a su tama�o entre dos magnitudes homog�neas�, identificando adem�s que no se trata de un n�mero, sino del resultado de un proceso llamado antifairesis, conocido actualmente como Algoritmo de Euclides (p. 321-323)

�         Baratech (1966) afirma que �se denomina raz�n entre dos n�meros al cociente exacto de dichos n�meros� (p. 324).

�         Mansilla y Bujanda (1984) lo describe afirmando �si a y b son cantidades de una misma magnitud, la medida de a cuando se toma por unidad a b, se llama raz�n entre a y b� (p. 324).

Mientras que para el tratamiento de la proporcionalidad los Elementos de Euclides desarrollan dos teor�as, para n�meros y magnitudes, de manera distinta:

�         �si cuatro n�meros son proporcionales, el producto del primero y el cuarto ser� igual al del segundo y el tercero� (VII, Prop. 19) y

�         �si cuatro rectas son proporcionales, el rect�ngulo comprendido por las extremas es igual al rect�ngulo comprendido por las medias� (VI, Prop. 16)

Rescatando estas nociones en: �la composici�n de dos razones de la forma a:b y b:c para obtener a:c (lo que llama raz�n doble, V, Def. 9) as� como la concatenaci�n de este tipo de composiciones (raz�n triple, etc., V, Def. 10).

En otras palabras, podemos considerar una raz�n como la comparaci�n entre dos cantidades y la proporci�n como la relaci�n entre dos o m�s razones, Moch�n (2012) las describe como �Una proporci�n es b�sicamente una igualdad de razones. Esta igualdad puede aparecer como una relaci�n entre cuatro n�meros relacionados entre s� o dentro de una variaci�n entre dos cantidades� (p. 134).

Por su parte, Moch�n (2012) afirma que las primeras etapas del desarrollo del razonamiento proporcional requieren de ser abordadas de una manera apropiada en el aula y propone que una adquisici�n paulatina del mismo por medio de 4 acercamientos:

1.      Uso de tablas y razonamiento �pre-proporcional�, de forma que el alumno reflexione sobre si la situaci�n que se le presenta es del tipo proporcional con el uso de razones simples (el doble, la mitad, el triple, etc.)

2.      Unitario (por medio de tablas de valores). Pretende que el alumno se de cuenta de que una vez que obtiene el valor unitario, se enfrenta a un simple problema multiplicativo. Poner la atenci�n del estudiante en la relaci�n de los pares de n�meros entre las dos columnas y no en la relaci�n entre n�meros de la misma columna.

3.      �Razonamiento proporcional. Concebir a la proporcionalidad como una igualdad de dos razones formadas por cuatro valores.

4.      Algor�tmico. Basado en la regla de 3, pero con apoyo de tablas y posterior al paso por el acercamiento 3.

Con base en todo lo anterior, se formula este trabajo, en el que se da �nfasis a situaciones que promuevan el primer acercamiento que, apoyado con diferentes representaciones semi�ticas del mismo, pretenden afianzar las caracter�sticas del concepto en una primera etapa.

Metodolog�a

La propuesta surge a partir de la elaboraci�n de un an�lisis epistemol�gico y did�ctico, en el que se reafirmaron las principales problem�ticas que surgen en el nivel secundaria al trabajar con el concepto de proporci�n, clasificadas por Fern�ndez y Llinares (2012) en 3 grupos: Confusi�n de las relaciones entre las cantidades, estrategia constructiva err�nea e identificaci�n correcta de la raz�n, pero uso incorrecto.

En los resultados del an�lisis preliminar, en su dimensi�n did�ctica, se encontr� que el razonamiento proporcional est� presente a lo largo de los aprendizajes clave propuestos para la educaci�n b�sica, como se observa en la figura 1.

El mismo an�lisis preliminar, en la dimensi�n cognitiva, se rescatan algunos de los errores y dificultades m�s frecuentes respecto al razonamiento proporcional (Fern�ndez y Llinares, 2012), para ser considerados como detonantes en el acercamiento al concepto:

�         Confusi�n de las relaciones entre las cantidades. Pone de manifiesto la dificultad de los estudiantes para identificar correctamente la relaci�n entre las cantidades de las magnitudes.

�     Estrategia constructiva err�nea. Utilizan el homomorfismo aditivo �pero realizan una aproximaci�n err�nea (combinaci�n de estrategias aditivas y multiplicativas).

�         Identificaci�n correcta de la raz�n, pero uso incorrecto. Identifican correctamente la raz�n tanto en las situaciones de comparaci�n como en las de c�lculo, pero tienen dificultades en desarrollar una comparaci�n de las razones obtenidas.

Con estos antecedentes, se estructur� una propuesta did�ctica interactiva, planeada para abordarse con alumnos de primer grado de secundaria, respecto a la adquisici�n del concepto de proporcionalidad, que puede adquirirse con el primer acercamiento propuesto por Moch�n (2012).

Cabe mencionar el material puede ser implementado tanto en sesiones virtuales como presenciales, donde los estudiantes identifiquen las nociones b�sicas de la proporci�n (constante, raz�n, factor unitario, factor aditivo y multiplicativo), que les permita diferenciar situaciones proporcionales de aquellas que no lo son, con principal atenci�n en alcanzar la noesis del razonamiento proporcional por medio de la conversi�n y tr�nsito entre las diferentes representaciones del concepto.

As� pues, con el entendido de que los estudiantes al ver un problema, que implica un valor faltante inmediatamente recurren a la regla de tres, se plantea una situaci�n en la que se parte de su representaci�n verbal, de forma que se conduzca a la reflexi�n de la relaci�n entre las cantidades involucradas, como se muestra en la figura 2.

As�, se le pide que observe 4 relaciones presentes, al presionar los botones correspondientes a cada una de ellas, se har�n �nfasis en las cantidades involucradas en la relaci�n espec�fica (Figura 3) con el objetivo de que, al utilizar razones simples, el alumno descubra si existe algo que sea com�n respecto a lo que se est� comparando. Moch�n (2012) nombraba �la caracter�stica de proporcionalidad m�s b�sica�, refiri�ndose al uso de razones simples (el doble, el triple, la mitad) en diferentes momentos y en estructuras homog�neas y heterog�neas, conduciendo al alumno a encontrar una relaci�n vertical que pudiera existir o no, entre las cantidades que intervienen en el problema.

La aplicaci�n guiar� al alumno para que, con el uso de botones y flechas (representaciones num�ricas e ic�nicas, respectivamente) que indican la relaci�n a la que se hace menci�n, permitan que se desglosen los textos que indican la respuesta seleccionada, lo cual indica la raz�n la relaci�n encontrada.

Posteriormente, se presenta el problema en su representaci�n verbal y se pregunta sobre un valor faltante, se espera que los alumnos empleen la estrategia de razones simples para determinarlo; adem�s, la app de GeoGebra le permitir� revisar sus respuestas, de forma que la reflexi�n est� dada tambi�n por ellas (Figura 4), ya que al no coincidir alguna de ellas con las esperadas, obtendr� un mensaje, que no le indicar� cu�l es el error, sino que lo har� revisar el conjunto de respuestas, que incluyen las relaciones y el valor faltante.

Figura 4. Revisi�n con un valor incorrecto.

Una vez que se corrigen todas las relaciones, se activa el siguiente paso, en el que, considerando solo un par de relaciones, se le pregunta c�mo son entre ellas (como puede verse en la figura 5). Este paso tiene por objetivo que se identifique si las cantidades son proporcionales o no.

Finalmente, se presenta la representaci�n gr�fica del problema, de manera que el alumno pueda darse cuenta de c�mo es el comportamiento de aquellas situaciones que guardan una relaci�n proporcional (Figura 6), para concluir la situaci�n con preguntas al respecto.

De manera similar, se le presentan algunas situaciones no proporcionales, cuya relaci�n entre pares de valores no es la misma entre las columnas que integran la tabla de datos, por lo que no existe forma de determinar el elemento faltante, como puede observarse en la figura 7.

Con este tipo de actividades se conduce a la semiosis de lo proporcional, al visualizar que la variaci�n entre parejas se mantiene en ambas columnas de la tabla; sin que a�n se les aclare que existe un elemento involucrado llamado constante de proporcionalidad; mientras que, por otra parte, el segundo problema, existe una variaci�n entre las cantidades que se comparan, sin embargo, esta no es equitativa en ambas columnas, lo cual sucede porque la situaci�n no tiene el.

Resultados

La propuesta se aplic� a un grupo de 7 alumnos del primer grado de secundaria de manera virtual, proporcion�ndoles la liga al recurso electr�nico mediante una sesi�n de meet que fue videograbada para posteriormente extraer de ella las respuestas de los alumnos.

Dentro de los resultados obtenidos, pudo observarse que un error que prevaleci� en el 28% del grupo en cuesti�n, es el de confusi�n entre cantidades (Fern�ndez y Llinares, 2012), pues a�n y cuando la propuesta trabaja con razones simples, 2 alumnos confundieron la mitad con el doble y viceversa, y no fue sino hasta que la app les pidiera revisar sus respuestas, que se dieron cuenta que esto tiene que ver con el orden en que las cantidades se presentan, mencionando argumentos como �no me fij� cu�l n�mero estaba primero�, aludiendo a las cantidades que se estaban comparando.

Por otra parte, cuando al final de la actividad se les cuestion� sobre su concepci�n de la proporcionalidad, las respuestas estuvieron divididas, 3 hicieron alusi�n a la representaci�n tabular, cuando indicaban que las cantidades deben tener �la misma diferencia entre columnas�, 2 indicaron que en la gr�fica �al unir los puntos se forma una recta cuando es proporcional�, 1 que �los n�meros deben tener algo que los relacione como con las flechas que aparec�an�, haciendo alusi�n a las relaciones ic�nicas presentadas y solo 1 no pudo describirla.

De la misma manera, al preguntarles de manera verbal c�mo encontraron el valor faltante, los estuantes manifestaron buscar una cantidad que se parezca y multiplicar o dividir, mostrando que el acercamiento con el uso de razones simples permite desligarse de procedimientos algor�tmicos que com�nmente son utilizados.

Con estos resultados, podemos describir que no solo el uso de tablas sino la interacci�n con los valores de estas mediante diferentes representaciones, permite obtener buenos resultados en el primer acercamiento al concepto de proporcionalidad, pues la conversi�n entre estas representaciones permite resaltar diferentes caracter�sticas del concepto.

Conclusiones

La estad�stica es un �rea en la que no se invierte demasiado tiempo en la ense�anza, reduciendo su ense�anza a procesos algor�tmicos y manejo de f�rmulas; sin embargo, potencializar el uso correcto del razonamiento proporcional, puede permitir a los alumnos encontrar sentido a las operaciones que com�nmente realizan para encontrar valores faltantes, estrategias mec�nicas, como lo es la regla de tres.

El primer acercamiento propuesto en Moch�n (2012), potenciado a trav�s del tr�nsito entre las representaciones tabular, ic�nica, verbal y gr�fica y la integraci�n de una tecnolog�a din�mica, permitieron dar una estructura que puede beneficiar el manejo paulatino del concepto, en el que se van descubriendo diferentes caracter�sticas que se mantienen a trav�s de las diferentes representaciones trabajadas, permitiendo con ello que intuitivamente se obtenga la semiosis del concepto.

Asimismo, las actividades interactivas pueden permitir interactuar en diferentes contextos, ya sea como material de apoyo al docente en una clase colaborativa, as� como material de autoaprendizaje para el alumno.

Otro elemento que es importante destacar, es que las actividades auto responsivas permiten a los alumnos no solo calificar su desempe�o, sino que su implementaci�n guiada les da pie a analizar aspectos que intervienen en las actividades, como en este caso el uso de razones simples y el orden de las cantidades involucradas.

Por otra parte, como sugerencia para la implementaci�n de los subsecuentes acercamientos, se debe plantear un m�todo m�s eficaz de recolecci�n de informaci�n que permita concentrar cada una de las respuestas, independientemente del m�todo en el que sea aplicado.

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