Amiutem

 

APLICACI�N INFORM�TICA PARA LA ENSE�ANZA DE LA DERIVADA

Jos� Carlos Cort�s Zavala, ¹Ulises Said Land�n Ju�rez, Enoc Rodr�guez

jcortes@umich.mx, ulandinjuarez@gmail.com, 1132131k@umich.mx

Universidad Michoacana, ¹Escuela Normal Superior de Michoac�n

Resumen

En el siguiente art�culo se expone una aplicaci�n inform�tica que se realiz� con GeoGebra y que apoya el aprendizaje del concepto de Derivada, concepto que, se ha mostrado a trav�s de investigaciones en diversos pa�ses, causa dificultad en su aprendizaje. Se usa GeoGebra dado que permite desarrollar aplicaciones m�s o menos completas sobre una tem�tica. La aplicaci�n inform�tica va acompa�ada de hojas de trabajo de las cuales se exponen las ideas principales.

Palabras clave: GeoGebra, Derivada, aplicaci�n inform�tica, Tangente.

Abstract

In the following article, a computer application that was carried out with GeoGebra and that supports the learning of the concept of Derivative is exposed, a concept that, through research in various countries, has been shown to cause difficulty in its learning. GeoGebra is used since it allows the development of more or less complete applications on a theme. The computer application is accompanied by worksheets from which the main ideas are presented.

Keywords: GeoGebra, Derivative, computer aplication, Tangent

Introducci�n

El concepto de derivada es importante en c�lculo y frecuentemente es dif�cil de entender para los alumnos. Algunos autores (Artigue, 1998; Cort�s, 2005; Hitt, 2005; Salinas y Alan�s, 2009; Vrancken y Engler, 2014) mencionan que la ense�anza del c�lculo se sigue centrando en promover en los estudiantes pr�cticas algor�tmicas y estructuras formales de la matem�tica, que no aportan un significado claro, ni un entendimiento conceptual. Tradicionalmente, su ense�anza se basa en el dominio procedimental para obtener derivadas de expresiones algebraicas por medio de f�rmulas sin lograr la comprensi�n del contenido matem�tico (Andreu y Riestra 2005, Cort�s, 2005; Hitt, 2005).

Despu�s de cursar una primera asignatura de c�lculo, la mayor�a de estudiantes pueden calcular derivadas b�sicas usando diferentes reglas o t�cnicas o lo que se le llama las f�rmulas de derivaci�n. Aun as�, los mejores alumnos tienen problemas para explicar �Qu� es la derivada? o �Por qu� las reglas que se usan son v�lidas? Lo que refleja la existencia de nociones limitadas sobre el tema, que conducen a un dominio operacional pero no conceptual.

Desde un punto de vista did�ctico, los objetivos y metas del docente deben ir m�s all� de lograr que los estudiantes conozcan y utilicen el procedimiento para calcular una derivada. Los esfuerzos deben guiarse en desarrollar una comprensi�n m�s avanzada que permita a los alumnos entender a fondo e incluso apreciar los conceptos de c�lculo, en particular el de derivada.�

Una posibilidad que tenemos como profesores es usar la tecnolog�a como herramienta reflexiva. En el caso que aqu� se expone, se us� el software GeoGebra para el dise�o de una aplicaci�n inform�tica, acompa�ada de una serie de hojas de trabajo que servir�n en la manipulaci�n e implementaci�n de la aplicaci�n inform�tica.

Exposici�n de la propuesta

Para intentar que los alumnos tengan una mejor comprensi�n de la derivada se dise�� una aplicaci�n inform�tica usando GeoGebra (http://computo.fismat.umich.mx/~jcortes/), que permite apoyar la visualizaci�n de las gr�ficas de las funciones y encontrar propiedades de las mismas, promoviendo el dominio de distintas representaciones semi�ticas (Duval, 1993). La actividad en esta aplicaci�n es puramente gr�fica y debe de ir acompa�ado de hojas de trabajo para que el estudiante entienda la informaci�n visual que se va generando.

Primero se expondr� la interfaz de la aplicaci�n (Fig. 1) y posteriormente las hojas de trabajo.

Interfaz y actividades manipulativas

Figura 1. Interfaz de la aplicaci�n

La interfaz est� dividida en dos partes: la de color azul es el men� de opciones y de manipulaci�n (Fig. 2) y la de color amarillo es la pantalla de visualizaci�n de resultados (Fig. 3). El men� de opciones y manipulaci�n se compone de manipulaci�n de un punto a trav�s de un deslizador (Fig. 6) y selecci�n de actividades a trav�s de casilla (Fig. 5 y 7).

 

Figura 2. Men� de opciones.

Figura 3. Visualizaci�n de resultados.

Figura 4. Men� de opciones y de manipulaci�n.

Figura 5. Sirve para modificar la funci�n que se grafica.

Figura 6. Sirve para manipular el punto �b� representado en la gr�fica.

Figura 7. Sirve para seleccionar el tipo de actividad con la que se trabajar�.

En el men� de selecci�n de opciones se plantean 6 diferentes actividades manipulativas:

Opci�n 1. Obtenci�n de coordenadas de un punto.

Se manipula el deslizador que corresponde al valor del punto �b� que es la ordenada.

Opci�n 2. Inclinaci�n de la recta tangente en un punto.

Opci�n 3. Valor de la recta tangente en un punto.

Se manipula el deslizador que corresponde al valor del punto �b� que es la ordenada y se visualiza la inclinaci�n de la recta tangente al punto �b�.

Se manipula el deslizador que corresponde al valor del punto �b� que es la ordenada y se visualiza la inclinaci�n y el valor de la recta tangente al punto �b�.

Opci�n 4. Valor de la recta tangente y graficaci�n punto por punto de la derivada

Se manipula el deslizador que corresponde al valor del punto �b� que es la ordenada y se visualiza la inclinaci�n, el valor de la recta tangente al punto �b� y se construye la gr�fica de derivada punto a punto (color verde).

Opci�n 5. Valor de la derivada puntual y construcci�n de la gr�fica de la funci�n derivada

Se manipula el deslizador que corresponde al valor del punto �b� que es la ordenada y se visualiza la inclinaci�n, el valor de la recta tangente al punto �b� y se construye la gr�fica de derivada de manera global (color verde).

Opci�n 6. Gr�fica de la funci�n derivada y su representaci�n algebraica

Se manipula el deslizador que corresponde al valor del punto �b� que es la ordenada y se visualiza la inclinaci�n, el valor de la recta tangente al punto �b� y se construye la gr�fica de derivada de manera global y se representa su forma algebraica.

Cada una de estas 6 actividades se puede trabajar con la funci�n que se introduzca, es decir, depende de cada profesor la intenci�n que tenga para ilustrar al alumno una funci�n espec�fica.

Hojas de trabajo para las actividades manipulativas

Las hojas de trabajo que se realizaron sirven no solo como gu�a para hacer las actividades propuestas en la aplicaci�n inform�tica, sino que tambi�n permitir�n al profesor tomando como base las respuestas de los estudiantes determinar el tema o los temas que les causan mayor conflicto. Las hojas de trabajo se dise�aron para guiar al estudiante en el desarrollo de la actividad, para ello se dan instrucciones sobre la manipulaci�n y se hacen preguntas que el estudiante deber� responder con base en la observaci�n que haga en la pantalla de graficaci�n. En este escrito solamente mencionaremos los objetivos de cada hoja de trabajo.

Objetivos y preguntas de la Hoja de Trabajo uno

�         Relacionarse con la aplicaci�n.

�         Considerar los nombres de los objetos o figuras del programa.

�         Relacionarse con el deslizador.

�     Qu� representa el punto B sobre el eje .

�         Observar la funci�n y la representaci�n gr�fica.

�         Entender las coordenadas de los puntos presentes.

�         Probar con distintas funciones.

Objetivos y preguntas de la Hoja de Trabajo dos

�         �Qu� es la recta tangente?

�         �C�mo se representa la recta tangente?

�         �En qu� punto es tangente la recta tangente?

�         �C�mo se comporta la recta tangente al dar clic en el bot�n inicio?

�         Probar con m�s funciones y mirar el comportamiento de la recta tangente con funciones trigonom�tricas etc.

Objetivos y preguntas de la Hoja de Trabajo tres

�         �Qu� es la pendiente?

�         �Qu� relaci�n hay entre la pendiente y el valor de la tangente?

�         En qu� puntos la pendiente es positiva o negativa.

�         Hacer el c�lculo anal�tico de la pendiente.

�         �Qu� pasa cuando la pendiente es positiva?

�         �Qu� pasa cuando la pendiente es negativa?

�         �Por qu� cambia la pendiente al mover el deslizador?

�         Usar unas funciones distintas y ver el comportamiento de las pendientes.

�Objetivos y preguntas de la Hoja de Trabajo cuatro

�         �De d�nde surgen las coordenadas del punto C?

�         �Cu�les son las coordenadas del punto D?

�         Apreciar el movimiento del punto D al dar clic al bot�n inicio.

�         Intentar esbozar el recorrido del punto D.

�         Probar con otra funci�n m�s clara o f�cil de visualizar.

Objetivos y preguntas de la Hoja de Trabajo cinco

�         �C�mo se obtiene la nueva gr�fica?

�         Encontrar la relaci�n entre el punto D y la nueva gr�fica.

�         �A qui�n representa esa nueva gr�fica?

�         �Qu� relaci�n encuentras entre el punto A y el punto D al mover el deslizador?

�         Usar otras funciones con fin de una comprensi�n m�s amplia de la nueva gr�fica que se presenta.

Objetivos y preguntas de la Hoja de Trabajo seis

�     �Qu� es

�     Qu� relaci�n encuentras entre �

�     Hacer el c�lculo anal�tico para llegar a

�     Probar con distintas funciones y observar

�     Relacionar �con la nueva gr�fica representada.

�         Concluir que la derivada de una funci�n se puede representar anal�ticamente, gr�ficamente y que al final de cuentas es otra funci�n.

Cabe mencionar que las hojas de trabajo desempe�an un papel importante porque muestran d�nde el alumno necesita m�s ayuda en el tema, y para lograrlo se puede hacer uso de m�s ejemplos ilustrativos cambiando las funciones por analizar.

Conclusiones

El software Geogebra permite crear aplicaciones inform�ticas para tratar diversos temas, en este caso se expone un acercamiento al tema de derivada a trav�s del trabajo con secantes y tangentes. La aplicaci�n es amigable con el estudiante ya que no requiere un amplio conocimiento del sistema Geoegebra, as� tambi�n tiene una propuesta did�ctica, que de acuerdo a la experimentaci�n realizada, funciona. Es una aplicaci�n pensada para que la primera vez el profesor vaya dando explicaci�n de las actividaes que se trabajan y que despu�s el estudiante realice tareas de forma independiente. El manejo de la aplicaci�n viene acompa�ada de 6 hojas de tarabjo para el estudiante en las cuales se va dando instrucci�n y haciendo preguntas sobre la actividad que este realizando.

 

 

Bibliograf�a

Alan�s, J.A. (1996). La predicci�n: un hilo conductor para el redise�o del discurso escolar del C�lculo. Tesis doctoral in�dita. M�xico, D. F.: Cinvestav.

Artigue, M. (1995). La ense�anza de los principios del c�lculo: problemas epistemol�gicos, cognitivos y did�cticos. En P. G�mez (Ed.), Ingenier�a did�ctica en educaci�n matem�tica: Un esquema para la investigaci�n y la innovaci�n en la ense�anza y aprendizaje de las matem�ticas (pp. 97-140). M�xico: Una empresa docente y Grupo Editorial Iberoam�rica.

Andreu, M. y Riestra, J. (2005). Propuesta alternativa para la ense�anza del concepto de derivada desde una perspectiva hist�rico-epistemol�gica de su desarrollo en Reflexiones sobre el aprendizaje del c�lculo y su ense�anza. Ed. Morevallado, M�xico 2005.

Cort�s, J. (2005). Software para la ense�anza de la derivada en Reflexiones sobre el aprendizaje del c�lculo y su ense�anza. Ed. Morevallado, M�xico 2005.

Duval, R. (1993). Registres de repr�sentation s�miotique et fonctionnement cognitif de la pens�e. Annales de Didactique et de Science Cognitives. En F. Hitt (Ed.), Investigaciones en Matem�tica Educativa II (pp. 37�65). Grupo Editorial iberoam�rica.

Hitt, F. (2005). Dificultades en el aprendizaje del c�lculo en Reflexiones sobre el aprendizaje del c�lculo y su ense�anza. Ed. Morevallado, M�xico 2005.

Salinas, P., y Alan�s, J.A. (2009). Hacia un nuevo paradigma en la ense�anza del C�lculo dentro de una instituci�n educativa. Revista Latinoamericana de Investigaci�n en Matem�tica Educativa, 12(3), 355-382.

Vrancken, S., y Engler, A. (2014). Una Introducci�n a la Derivada desde la Variaci�n y el Cambio: resultados de una investigaci�n con estudiantes de primer a�o de la universidad. Bolet�n de Educaci�n Matem�tica, 28(48), 449-468